星系旋转曲线问题。恒星的旋转速度并不是沿着半径下降，也就是说即使在半径很大的地方，恒星也有着很大的旋转速度。但是太阳系是符合牛顿定律的
物理定律应该在任意坐标系下保持相同的形式，即它们应该具有一般协变性。庞加莱群只适用于无引力的平直时空（即闵可夫斯基时空），而在有引力的情况下，必须引入更一般的流形和度规张量来描述时空的弯曲
广义相对论 一种最简单的度规理论
在某一特殊坐标系中写出的任何物理理论都可用与坐标无关的几何语言重新表述出来
马赫原理
所有运动都是相对的,一个物体所受到的惯性力是宇宙中其他物质相对其加速时施加的综合效应
局域洛伦兹不变性
任何局域的非引力实验的结果与(自由下落)装置的速度元关
平移变换是仿射变换（Affine Transformation）
在一个足够小的自由下落参考系里，物理定律与无引力的闵可夫斯基空间一致
但是在更大范围上，引力的影响会导致局部惯性系之间的相对变换不再是庞加莱变换，而是更一般的非线性坐标变换
庞加莱群是一个有限维李群，而微分同胚群是一个无限维李群
它们的关系涉及从刚性对称性推广到一般流形上的可微变换
流形：局部看起来像 \(\mathbb{R}^n\)
流形的微分结构保证坐标变换下不变（不同观测者之间光滑）
流形尽管在局部可看作欧氏空间，但整体上通常没有全局的线性结构
张量场在某一点的值称为张量
通常的矩阵可以看作是一个 (1 , 1)
型张量,张量的缩并就是矩阵求迹
矩阵与矩阵的直乘即相应于张量的直乘:矩阵与矩阵的乘积即相应于张量直乘后再缩井
线元：在微分流形 M 上取一个非退化对称的，2
阶协变的张量场，用它构造一个二次型
如果 \(\det(g_{μν})=0\)，则度规是退化的，表示某些方向的测度消失了（例如存在零长度的非零向量）
非退化意味着不会丢失信息，不会让不同的东西变成一样的
光子在它自己的参考系中经历的时间是零
薛定谔方程在 Wick
轮换后变成经典统计物理的扩散方程
虽然虚时间方法可以高效求解基态，但要从中恢复真实时间演化存在困难
反德西特空间可以视为嵌入到更高维的闵可夫斯基空间中
额外维度必须非常小
Berry 曲率就像是 Hilbert 空间的引力场
QED 的有效电荷 \(e(E)\)
变得越来越大。
在某个极高能尺度 \(E_{Landau}\) 处，电荷会趋于无穷大，Landau
极点
时空本身的旋转，即拖曳效应（Frame Dragging）
爱因斯坦环面（Ergosphere）
波动版本的Penrose过程，从黑洞的旋转中获取额外的能量，并被反射出去
大质量黑洞（如银河系中心的黑洞） 蒸发时间远远超过宇宙年龄（\(10^{60}\)
年以上），它们在可观测未来内不会消失
小质量黑洞（如微型原始黑洞）
可能已经在早期宇宙中蒸发殆尽
当黑洞质量变得极小（接近普朗克尺度）时，它的温度会急剧上升，可能会以高能伽马射线的形式进行最终爆炸，但这仍然是开放问题霍金辐射还没有被直接观测到，因为对于天体物理尺度的黑洞来说，它的温度比CMB还低，几乎不可能探测